Topologie Buchkatalog

Quelle: Wikipedia. Seiten: 53. Kapitel: Topologischer Raum, Atiyah-Singer-Indexsatz, Orthogonale Gruppe, Kugel, Bairesche Klasse, Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie, Floer-Homologie, Häufungspunkt, Ultrafilter, Topologische Kombinatorik, Borelsche s-Algebra, Stabile Abbildung, Stetigkeit, Fixpunktsatz von Banach, Sphäre, Topologischer Ring, Atiyah-Bott-Fixpunktsatz, Homöomorphismus, Pseudometrik, Pseudoholomorphe Kurve, Topologische Gruppe, Erzeugnis, Träger, Fixpunktsatz von Schauder, Fürstenbergs Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen, Einhängung, Ultrametrik, Lebesguezahl, Topologische Konjugation, Topologische Transitivität, Kompakte Menge, Smash-Produkt, Mereotopologie, Generischer Punkt, Lange Gerade, Hausdorff-Metrik, Proendliche Gruppe, Wedge-Produkt, Satz von Kunugui, Kugelbedingung, Borromäische Ringe, Verschlingungszahl, Topologische Invariante, JSJ-Zerlegung. Auszug: Der Atiyah-Singer-Indexsatz ist die zentrale Aussage aus der globalen Analysis, einem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass für einen elliptischen Differentialoperator auf einer kompakten Mannigfaltigkeit der analytische Index (eng verbunden mit der Dimension des Lösungsraums) gleich dem topologischen Index (über topologische Invarianten definiert) ist. Viele andere wichtige Sätze wie der Satz von Riemann-Roch oder der Satz von Gauß-Bonnet sind Spezialfälle. Der Satz hat auch Anwendungen in der theoretischen Physik. Er wurde 1963 von Michael Atiyah und Isadore M. Singer bewiesen. Sie erhielten dafür den Abelpreis 2004. Falls D ein Differentialoperator der Ordnung n in k Variablen , ist, ist sein "Symbol" eine Funktion der 2k Variablen , die dadurch gegeben ist, dass man alle Terme von geringerer Ordnung als n weglässt und durch ersetzt. Das Symbol ist also homogen in den Variablen y vom Grad n. Es ist wohldefiniert (obwohl nicht mit kommutiert), da nur der höchste Term behalten wurde und Differentialoperatoren nur bis auf niedrigere Terme kommutieren. Der Operator wird elliptisch genannt, falls das Symbol ungleich 0 ist, wenn mindestens ein y ungleich 0 ist. Beispiel für n=2: Der Laplaceoperator in k Variablen hat das Symbol y1 + ... + yk, und ist somit elliptisch, da es ungleich 0 ist, wenn einer der y ungleich 0 ist. Die Wellengleichung hat dagegen das Symbol -y1 + ... + yk, das für k = 2 nicht elliptisch ist. Das Symbol verschwindet hier für einige y ungleich 0. Das Symbol eines Differentialoperators der Ordnung n auf einer glatten Mannigfaltigkeit X ist ganz ähnlich definiert unter Benutzung lokaler Koordinatenkarten. Es ist eine Funktion des Kotangentialbündels von und ist homogen vom Grad n auf jedem Kotangentialraum. Allgemeiner ist das Symbol eines Differentialoperators zwischen zwei Vektorbündeln E und F ein Schnitt des pullback des Bündels zum Kotangentialraum von X. Der Differentialoperator heißt elliptisch wenn das Element vo